~misterio/BSI-SMA0501

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\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR Extra}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle

\section{L'Hospital}
\subsection{Sejam \(P(x)\) e \(Q(x)\) polinômios tais que \(P(x_0) = 0\), \(Q(x_0) = 0\) e \(Q'(x_0) \ne 0\). Mostre que \(\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x_0)}{Q'(x_0)}\):}

\subsection{Sejam \(P(x)\) e \(Q(x\) polinômios tais que \(P(x_0) =P'(x_0) = 0\), \(Q(x_0) = Q'(x_0)=0\)}

\subsection{Utilizando os exercícios 37 e 38, calcule:}
\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{100}+x-2}{x^{99}-x}\)}
\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^{10}-9x^2+8x}\)}
\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^5+3x+4}{x^{20}+3x+2}\)}
\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^4-2x^3+2x-1}{x^8-6x^6+8x^5-3x^4}\)}

\subsection{Usando o exercício 40, calcule:}
\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln{|x+1|}}{x^2+\sin{x}}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\[
    (\ln{(x+1)})' = \frac{1}{x+1}
\]
\[
    (x^2+\sin{x})' = (x^2)' + (\sin{x})' = 2x + \cos{x}
\]

Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln{|x+1|}}{x^2+\sin{x}}
    &= \frac{1}{x+1}\cdot\frac{1}{2x+\cos{x}} \\
    &= \frac{1}{2x^2+x\cos{x}+2x+\cos{x}} \\
    &= \frac{1}{0+\cos{0}} \\
    &= 1
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \therefore \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln{|x+1|}}{x^2+\sin{x}} = 1
    }
\]

\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{e^{2x-\pi}-1}{2\sin{x}+\sin{6x}-2}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\[
    (e^{2x-\pi}-1)' = 2e^{2x-\pi}
\]
\[
    (2\sin{x}+\sin{6x}-2)' = 2\cos{x} + 6\cos{6x}
\]
Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{e^{2x-\pi}-1}{2\sin{x}+\sin{6x}-2}
    &= \frac{2e^{2x-\pi}}{2\cos{x}+6\cos{6x}} \\
    &= \frac{2e^0}{2\cos{(\frac{\pi}{2})} +6\cos{(3\pi)}} \\
    &= \frac{2}{-6} \\
    &= -\frac{1}{3}
\end{align*}
\[
    \boxed{
        \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{e^{2x-\pi}-1}{2\sin{x}+\sin{6x}-2} = -\frac{1}{3}
    }
\]

\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow -1} \frac{x\sqrt[3]{x+1}}{\sin{(\pi x^2)}}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\begin{align*}
    (x\sqrt[3]{x+1})'
    &= (x)'\cdot \sqrt[3]{x+1} + x\cdot (\sqrt[3]{x+1})' \\
    &= \sqrt[3]{x+1} + x\cdot \left((x+1)' \cdot \frac{1}{3} {(x+1)}^{\frac{1}{3}-1}\right) \\
    &= \sqrt[3]{x+1} + x\cdot \left(\frac{1}{3} {(x+1)}^{-\frac{2}{3}}\right) \\
    &= \sqrt[3]{x+1} + \frac{x}{{3(x+1)}^{\frac{2}{3}}}
\end{align*}
\begin{align*}
    (\sin{(\pi x^2)})'
    &= (\pi x^2)' \cdot \cos{(\pi x^2)} \\
    &= 2x \pi \cos{(\pi x^2)}
\end{align*}
Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow -1} \frac{x\sqrt[3]{x+1}}{\sin{(\pi x^2)}}
    &= \frac{\sqrt[3]{x+1} + \frac{x}{{3(x+1)}^{\frac{2}{3}}}}{2x \pi \cos{(\pi x^2)}} \\
    &= \frac{\sqrt[3]{0} + \frac{-1}{{3(0)}^{\frac{2}{3}}}}{-2 \pi \cos{(\pi)}} \\
    &= \frac{0 -\frac{1}{0}}{-2\pi \cos{(\pi)}} \\
    &= -\frac{1}{0} \cdot \frac{1}{2\pi} \\
    &= -\infty
\end{align*}
\[
    \boxed{
        \lim_{x\rightarrow -1} \frac{x\sqrt[3]{x+1}}{\sin{(\pi x^2)}} = -\infty
    }
\]

\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x + \sqrt[3]{x^2+\sin{3x}}}{\ln{|x^2+x+1|}}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\begin{align*}
    (x + \sqrt[3]{x^2 + \sin{3x}})'
    &= 1 + \frac{1}{3}{(\sin{3x}+x^2)}^{-\frac{2}{3}} \cdot (\sin{(3x)}+x^2)' \\
    &= 1 + \frac{1}{3{(\sin{(3x)}+x^2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 3\cos{(3x)}+2x \\
    &= 1 + \frac{3\cos{(3x) + 2x}}{3{(\sin{(3x)}+x^2)}^{\frac{2}{3}}}
\end{align*}
\begin{align*}
    (\ln{|x^2+x+1|})'
    &= \frac{1}{x^2+x+1} \cdot {(x^2+x+1)}' \\
    &= \frac{2x+1}{x^2+x+1}
\end{align*}
Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x + \sqrt[3]{x^2+\sin{3x}}}{\ln{|x^2+x+1|}}
    &= \frac{1 + \frac{3\cos{(3x) + 2x}}{3{(\sin{(3x)}+x^2)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{2x+1}{x^2+x+1}} \\
    &= \frac{1 + \frac{3\cos{(0)}}{3{(\sin{(0)})}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{1}{1}} \\
    &= 1 + \frac{3\cos{(0)}}{3{(\sin{(0)})}^{\frac{2}{3}}} \\
    &= 1 + \frac{3}{0^{\frac{2}{3}}} \\
    &= \infty
\end{align*}
\[
    \boxed{
        \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x + \sqrt[3]{x^2+\sin{3x}}}{\ln{|x^2+x+1|}} = \infty
    }
\]

\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{-x^2}+x-1}{e^{4x}+x^5-1}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\begin{align*}
    (e^{-x^2}+x-1)'
    &= (-x^2)' \cdot e^{-x^2} + 1 \\
    &= - e^{-x^2}\cdot 2x + 1
\end{align*}
\[
    (e^{4x}+x^5-1)' = 4 e^{4x} + 5x^4
\]
Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{-x^2}+x-1}{e^{4x}+x^5-1}
    &= \frac{- e^{-x^2}\cdot 2x + 1}{4 e^{4x} + 5x^4} \\
    &= \frac{(- 1\cdot 0) + 1}{4 e^{0} + 0^4} \\
    &= \frac{1}{4} \\
\end{align*}
\[
    \boxed{
        \therefore \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{-x^2}+x-1}{e^{4x}+x^5-1} = \frac{1}{4}
    }
\]

\subsubsection{\(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin{(\sin{\pi x})}}{2-\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}}\)}
Vamos começar derivando o numerador e o denominador:
\begin{align*}
    (\sin{(\sin{(\pi x)})})'
    &= \cos{(\sin{(\pi x)})} \cdot (\sin{(\pi x)})' \\
    &= \cos{(\sin{(\pi x)})}\cos{(\pi x)} \cdot \pi
\end{align*}
\begin{align*}
    (2-\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2})'
    &= -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\
    &= -\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align*}
Pela regra de L'Hospital:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin{(\sin{\pi x})}}{2-\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}}
    &= \frac{\cos{(\sin{(\pi x)})}\cos{(\pi x)} \cdot \pi}{-\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}} \\
    &= \frac{\pi}{-\frac{2}{0} - \frac{1}{0}} \\
    &= 0
\end{align*}
\[
    \boxed{
        \therefore \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sin{(\sin{\pi x})}}{2-\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}} = 0
    }
\]

\section{Integração por frações parciais}
\subsection{\(\int{\frac{1}{(x+1)(x-1)}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes das frações parciais:

\begin{align*}
	\frac{1}{(x+1)(x-1)}
	           & = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}                \\
	           & = \frac{A\cdot(x-1) + B\cdot(x+1)}{(x+1)(x-1)} \\
	\implies 1 & = A\cdot(x-1) + B\cdot(x+1)                    
\end{align*}

Substituindo \( x =1\):
\begin{align*}
	1  & = A\cdot 0 + B \cdot 2 \\
	2B & = 1                    \\
	B  & = 0,5                  
\end{align*}

Substituindo \( x = -1\):
\begin{align*}
	1  & = A\cdot (-2) + B \cdot 0 \\
	2A & = -1                      \\
	A  & = -\frac{1}{2}            
\end{align*}

Agora podemos substituir na integral:

\begin{align*}
	\int{\frac{1}{(x+1)(x-1)}dx}
	  & = \int{\frac{A}{x+1}dx} + \int{\frac{B}{x-1}dx}                         \\
	  & = - \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+1}dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-1}dx} \\
	  & = \frac{\ln{|x-1|}}{2} - \frac{\ln{|x+1|}}{2} + C                       
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int{\frac{1}{(x+1)(x-1)}dx} = \frac{\ln{|x-1|}-\ln{|x+1|}}{2} + C
	}
\]

\subsection{\(\int{\frac{2x+3}{x(x-2)}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
	\frac{2x+3}{x(x-2)}
	              & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2}            \\
	              & = \frac{A\cdot(x-2) + B \cdot x}{x(x-2)} \\
	\implies 2x+3 & = A\cdot(x-2) + B \cdot x                
\end{align*}

Substituindo \(x = 0\):
\begin{align*}
	2\cdot 0 + 3 & = A\cdot (-2) + B \cdot 0 \\
	-2A          & = 3                       \\
	A            & = -\frac{3}{2}            
\end{align*}

Substituindo \( x = 2\):
\begin{align*}
	4 + 3 & = A \cdot 0 + B\cdot 2 \\
	2B    & = 7                    \\
	B     & = \frac{7}{2}          
\end{align*}

Agora podemos substituir na integral:

\begin{align*}
	\int{\frac{2x+3}{x(x-2)}dx}
	  & = \int{\frac{A}{x}dx}+\int{\frac{B}{x-2}dx}                        \\
	  & = -\frac{3}{2}\int{\frac{1}{x}dx}+\frac{7}{2}\int{\frac{1}{x-2}dx} \\
	  & = \frac{7}{2}\ln{|x-2|} - \frac{3}{2}\ln{|x|} + C                  
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int{\frac{2x+3}{x(x-2)}dx} = \frac{7\ln{|x-2|}-3\ln{|x|}}{2} + C
	}
\]

\subsection{\(\int{\frac{x}{x^2 - 4}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{x}{x^2-4}
    &= \frac{x}{(x+2)(x-2)} \\
    &= \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2} \\
    &= \frac{A\cdot (x-2) + B\cdot (x+2)}{(x+2)(x-2)} \\
    \implies x
    &= A \cdot (x-2) + B \cdot (x+2)
\end{align*}

Substituindo \(x = -2 \):
\begin{align*}
    -2
    &= A \cdot (-4) + B \cdot 0 \\
    A &= \frac{1}{2}
\end{align*}

Substituindo \(x = 2\):
\begin{align*}
    2
    &= A \cdot 0 + B \cdot 4 \\
    B &= \frac{1}{2}
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{x}{x^2-4}dx}
    &= \int{\frac{A}{x+2}dx} + \int{\frac{B}{x-2}dx} \\
    &= \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x+2}dx} + \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x-2}dx} \\
    &= \frac{1}{2}\ln{|x+2|} + \frac{1}{2}\ln{|x-2|} + C
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \therefore \int{\frac{x}{x^2-4}dx} = \frac{\ln{|x+2| + \ln{|x-2|}}}{2} + C
    }
\]

\subsection{\(\int{\frac{1}{x^2-4}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{1}{x^2-4}
    &= \frac{1}{(x+2)(x-2)} \\
    &= \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2} \\
    &= \frac{A\cdot (x-2) + B\cdot (x+2)}{(x+2)(x-2)} \\
    \implies 1
    &= A\cdot (x-2) + B\cdot (x+2)
\end{align*}

Substituindo \(x = -2\)
\begin{align*}
    1
    &= A\cdot (-4) + B\cdot 0 \\
    A &= -\frac{1}{4}
\end{align*}

Substituindo \(x = 2\)
\begin{align*}
    1
    &= A \cdot 0 + B \cdot 4 \\
    B &= \frac{1}{4}
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{1}{x^2-4}dx}
    &= \int{\frac{A}{x+2}dx} + \int{\frac{B}{x-2}dx} \\
    &= - \frac{1}{4} \int{\frac{1}{x+2}dx} + \frac{1}{4} \int{\frac{1}{x-2}dx} \\
    &= \frac{1}{4}\ln{|x-2|} - \frac{1}{4}\ln{|x+2|} + C
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \therefore \int{\frac{1}{x^2-4}dx} = \frac{\ln{|x-2|}-\ln{|x+2|}}{4} + C
    }
\]

\subsection{\(\int{\frac{5x+3}{x^2-3x+2}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{5x+3}{x^2-3x+2}
    &= \frac{5x+3}{(x-1)(x-2)} \\
    &= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} \\
    &= \frac{A\cdot(x-2)+B\cdot(x-1)}{(x-1)(x-2)} \\
    \implies 5x+3
    &= A\cdot(x-2) + B\cdot(x-1)
\end{align*}

Substituindo por \(x = 1\)
\begin{align*}
    5+3 &= A\cdot(-1) + B \cdot 0 \\
    A &= -8
\end{align*}

Substituindo por \(x = 2\)
\begin{align*}
    10+3 &= A \cdot 0 + B \\
    B &= 13
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{5x+3}{x^2-3x+2}dx}
    &= \int{\frac{A}{x-1}dx} + \int{\frac{B}{x-2}dx} \\
    &= -8\int{\frac{1}{x-1}dx} + 13\int{\frac{1}{x-2}dx}\\
    &= 13\ln{|x-2|} - 8\ln{|x-1|} + C
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \therefore \int{\frac{5x+3}{x^2-3x+2}dx} = 13\ln{|x-2|} - 8\ln{|x-1|} + C
    }
\]

\subsection{\(\int{\frac{x+1}{x^2-x-2}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{x+1}{x^2-x-2}
    &= \frac{x+1}{(x+1)(x-2)} \\
    &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} \\
    &= \frac{A\cdot (x-2) + B\cdot (x+1)}{(x+1)(x-2)} \\
    \implies x+1
    &= A\cdot (x-2) + B\cdot (x+1)
\end{align*}

Substituindo \( x = -1 \)
\begin{align*}
    0
    &= A\cdot(-3) + B \cdot 0 \\
    A
    &= 0
\end{align*}

Substituindo \( x = 2 \)
\begin{align*}
    3 &= A \cdot 0 + B \cdot 3 \\
    B &= 1
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{x+1}{x^2-x-2}dx}
    &= \int{\frac{A}{x+1}dx} + \int{\frac{B}{x-2}dx} \\
    &= 0\int{\frac{1}{x+1}dx} + 1\int{\frac{1}{x-2}dx} \\
    &= \ln{|x-2|}
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \therefore \int{\frac{x+1}{x^2-x-2}dx} = \ln{|x-2|}
    }
\]

\subsection{\(\int{\frac{2}{x^2-5x+6}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{2}{x^2-5x+6}
    &= \frac{2}{(x-2)(x-3)} \\
    &= \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} \\
    &= \frac{A\cdot (x-3) + B\cdot(x-2)}{(x-2)(x-3)} \\
    \implies 2
    &= A\cdot (x-3) + B\cdot(x-2)
\end{align*}

Substituindo \( x = 2 \)
\begin{align*}
    2 &= A \cdot (-1) + B \cdot 0 \\
    A &= -2
\end{align*}

Substituindo \( x = 3 \)
\begin{align*}
    2 &= A \cdot 0 + B \cdot 1 \\
    B &= 2
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{2}{x^2-5x+6}dx}
    &= \int{\frac{A}{x-2}dx} + \int{\frac{B}{x-3}dx} \\
    &= -2\int{\frac{1}{x-2}dx} + 2 \int{\frac{1}{x-3}dx} \\
    &= 2\ln{|x-3|} - 2 \ln{|x-2|} + C
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \int{\frac{2}{x^2-5x+6}dx} = 2(\ln{|x-3|} - \ln{|x-2|}) + C
    }
\]

\subsection{\(\int{\frac{x-3}{x^2+3x+2}dx}\)}
Vamos obter os coeficientes:

\begin{align*}
    \frac{x-3}{x^2+3x+2}
    &= \frac{x-3}{(x+1)(x+2)} \\
    &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \\
    &= \frac{A\cdot(x+2) + B\cdot (x+1)}{(x+1)(x+2)} \\
    \implies x-3
    &= A\cdot(x+2) + B\cdot (x+1)
\end{align*}

Substituindo \( x = -1 \)
\begin{align*}
    -4 &= A\cdot 1 + B \cdot 0 \\
    A &= -4
\end{align*}

Substituindo \( x = -2 \)
\begin{align*}
    -5 &= A \cdot 0 + B \cdot (-1) \\
    B &= 5
\end{align*}

Agora substituindo na integral:
\begin{align*}
    \int{\frac{x-3}{x^2+3x+2}dx}
    &= \int{\frac{A}{x+1}dx} + \int{\frac{B}{x+2}dx} \\
    &= -4\int{\frac{1}{x+1}dx} + 5\int{\frac{1}{x+2}dx} \\
    &= 5\ln{|x+2|} - 4\ln{|x+1|} + C
\end{align*}

\[
    \boxed{
        \int{\frac{x-3}{x^2+3x+2}dx} = 5\ln{|x+2|} - 4\ln{|x+1|} + C
    }
\]

\section{Integração por partes}
\subsection{\(\int_0^1 x e^x dx\)}
Vamos começar obtendo a antiderivada. Usando partes:
\begin{align*}
	f := x & \text{, } g' := e^x \\
	f' = 1 & \text{, } g = e^x   
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g     \\
	\int xe^x dx
	  & = xe^x - \int e^x dx \\
	  & = xe^x - e^x + C     \\
	  & = (x-1) e^x + C      
\end{align*}

Agora vamos calcular a integral definida:

\begin{align*}
	\bigg\rvert_0^1 ((x-1) e^x + C)
	  & = ((1-1) e^1 + C) - ((0-1) e^0 + C) \\
	  & = (0 + C) - (- 1 + C)               \\
	  & = 1                                 
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int_0^1 x e^x dx = 1
	}
\]
\subsection{\(\int_1^2 \ln{x} dx\)}
Usando partes:

\begin{align*}
	f := \ln{x}\text{, } g' := 1    \\
	f' = \frac{1}{x}\text{, } g = x 
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g                                    \\
	\int \ln{x}
	  & = \ln{x}\cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x \cdot dx \\
	  & = x \ln{x} - \int 1 dx                              \\
	  & = x \ln{x} - (x + C)                                \\
	  & = x \ln{x} - x + C                                  
\end{align*}

Agora vamos calcular a definida:

\begin{align*}
	\bigg\rvert_1^2 (\ln{x} - x + C)
	  & = (2\ln{2} - 2 + C) - (\ln{1} - 1 + C) \\
	  & = (2\ln{2} - 2) + 1                    \\
	  & = 2\ln{2} - 1                          
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int_1^2 \ln{x} dx = 2\ln{2} - 1
	}
\]
\subsection{\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos{x} dx\)}
Usando partes:
\begin{align*}
	f := \cos{x}\text{, } g' := e^x \\
	f' = -\sin{x}\text{, } g = e^x  
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g                                 \\
	\int{e^x \cos{x} dx}
	  & = \cos{x}\cdot e^x - \int{-\sin{x} \cdot e^x dx} 
\end{align*}

Usando partes mais uma vez:
\begin{align*}
	f := -\sin{x}\text{, } g' := e^x \\
	f' = -\cos{x}\text{, } g = e^x   
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g                                 \\
	\int{-\sin{x} \cdot e^x dx}
	  & = -\sin{x}\cdot e^x - \int{-\cos{x}\cdot e^x dx} 
\end{align*}

Juntando os dois:

\begin{align*}
	\int{e^x\cos{x}dx}
	  & = \cos{x}\cdot e^x - \left(-\sin{x}\cdot e^x-\int{-\cos{x}\cdot e^x dx}\right) \\
	  & = \cos{x}\cdot e^x + \sin{x}\cdot e^x - \int{e^x \cos{x} dx}                   
\end{align*}
\begin{align*}
	2 \int{e^x\cos{x}dx} & = e^x \cdot (\cos{x}+\sin{x}) + C           \\
	\int{e^x\cos{x}dx}   & = \frac{e^x \cdot (\cos{x}+\sin{x})}{2} + C 
\end{align*}

Agora calculando a integral definida:

\begin{align*}
	  &\bigg\rvert_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{e^x \cdot (\cos{x}+\sin{x})}{2}\right) \\
	  & = \left(\frac{e^{\frac{\pi}{2}} \cdot (\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}})}{2} + C\right) - \left(\frac{e^{0} \cdot (\cos{0}+\sin{0})}{2} + C\right) \\ % chktex 464
	  & = \left(\frac{e^{\frac{\pi}{2}} \cdot (0+1)}{2}\right) - \left(\frac{e^{0} \cdot (1+0)}{2}\right)                                                 \\
	  & = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2}                                                                                                       
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos{x} dx= \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2}
	}
\]
\subsection{\(\int_0^x t^2 e^{-st} dt\text{, }(s\ne 0)\)}
Usando partes:
\begin{align*}
	f := t^2 & \text{, } g' := e^{-st}          \\
	f' = 2t  & \text{, } g = -\frac{e^{-st}}{s} 
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g                                            \\
	\int{t^2 e^{-st} dt}
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} - \int{-\frac{2te^{-st}}{s}dt}      \\
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} +\frac{2}{s} \cdot \int{te^{-st}dt} 
\end{align*}

Vamos integrar por partes, mais uma vez:
\begin{align*}
	f := t & \text{, } g' := e^{-st}          \\
	f' = 1 & \text{, } g = -\frac{e^{-st}}{s} 
\end{align*}
\begin{align*}
	\int f g'
	  & = fg - \int f' g                                    \\
	\int{te^{-st}dt}
	  & = - \frac{te^{-st}}{s} - \int{-\frac{e^{-st}}{s}dt} 
\end{align*}

Regra da substituição:

\[
	u := -st \implies \frac{du}{dt} = -s \implies dt = -\frac{1}{s}du
\]
\[
	\int{-\frac{e^{-st}}{s}dt} = \int{\frac{e^u}{s^2}du} = \frac{1}{s^2}\int{e^u du} = \frac{e^u}{s^2} = \frac{e^{-st}}{s^2}
\]

Juntando tudo:

\begin{align*}
	\int{t^2 e^{-st} dt}
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} +\frac{2}{s} \cdot \int{te^{-st}dt}                                                         \\
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} +\frac{2}{s} \cdot \left(- \frac{te^{-st}}{s} - \int{-\frac{e^{-st}}{s}dt}\right)           \\
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} +\frac{2}{s} \cdot \left(- \frac{te^{-st}}{s} - \left(\frac{e^{-st}}{s^2} + C\right)\right) \\
	  & = -\frac{t^2e^{-st}}{s} - \frac{2te^{-st}}{s^2}-\frac{2e^{-st}}{s^3} + C                                            \\
	  & = - \frac{(st(st+2)+2)e^{-st}}{s^3}+C                                                                               
\end{align*}

Por fim, vamos calcular os valores da antiderivada para obter a integral definida:
\begin{align*}
	  & \bigg\rvert^x_0 \left(- \frac{(st(st+2)+2)e^{-st}}{s^3}+C\right)                                      \\
	  & = \left(- \frac{(sx(sx+2)+2)e^{-sx}}{s^3}+C\right) - \left(- \frac{(s0(s0+2)+2)e^{-s0}}{s^3}+C\right) \\
	  & = \left(\frac{(s0(s0+2)+2)e^{-s0}}{s^3}+C\right) - \left(\frac{(sx(sx+2)+2)e^{-sx}}{s^3}+C\right)     \\
	  & = \left(\frac{2}{s^3}+C\right) - \left(\frac{(sx(sx+2)+2)e^{-sx}}{s^3}+C\right)                       \\
	  & = \frac{2}{s^3}-\frac{(s^2x^2+2sx+2)e^{-sx}}{s^3}                                                     
\end{align*}

\[
	\boxed{
		\therefore \int^x_0{t^2 e^{-st} dt } = \frac{2}{s^3}-\frac{(s^2x^2+2sx+2)e^{-sx}}{s^3}
	}
\]

\end{document}

A  => ATR1/respostas.tex +181 -0
@@ 1,181 @@
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\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 1}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle

\part*{Aula I}
\section{Números reais prof. Régis}
\subsection{Identifique se os dois objetos são iguais}
Sim. Por convergir em \(0\):
\[ (1/2,1/4,1/8,\dots) = (0,0,0,\dots) \]
Podemos afirmar:
\[ (2+1/2, 2+1/4, 2+1/8, \dots) = (0+2,0+2,0+2,\dots) \]
\[ \therefore (2+1/2, 2+1/4, 2+1/8, \dots) = (2,2,2,\dots) \]

\subsection{Crie dois pares de novos objetos}
\[ (1/3;1/3;1/3;\dots) = (0,3; 0,33; 0,333; \dots) \]
Pois ambos convergem em \( 1/3 \) (\(0,333\dots\)).

\[ (0,9;0,99;0,999;\dots) \ne (0,1;0,01;0,001;\dots) \]
Pois um converge em \(1\), e o outro em \(0\).

\section{Desigualdade modular prof. Aurichi}
\subsection{Enuncie e escreva as resoluções das desigualdades modulares}
\subsubsection{\(\abs{x-7} < 3\)}
O professor Aurichi fez o exercícios de duas formas, a primeira se usando da propriedade \(\abs{x} \leq a \iff -a \leq x \leq a\):
\[\abs{x-7} < 3 \implies -3 < x - 7 < 3\]
\[
	\boxed{
		4 < x < 10
	}
\]

\bigskip
\bigskip

E a segunda forma, estudando o sinal do módulo. Primeiro para \(x-7 \geq 0 \):
\[
	x-7 \geq 0 \implies x \geq 7
\]
Neste caso \( \abs{x-7} = x-7 \), logo:
\[
	x-7 < 3 \implies x < 10
\]
\[
	\therefore 7 \leq x < 10
\]

\smallskip

Agora para \(x-7 < 0\):
\[
	x-7 < 0 \implies x < 7
\]
Neste caso \(\abs{x-7} = -x+7\), logo:
\[
	-x+7 < 3 \implies x > 4
\]
\[
	\therefore 4 < x < 7
\]

Unindo esses dois intervalos, temos que a equação \(\abs{x-7} < 3\) é satisfeita quando:
\[
	\boxed{
		4 < x < 10
	}
\]

\subsubsection{\( \abs{2x+1}+\abs{x-1}<3 \)}
Os módulos trocam de comportamento individualmente em seus pontos críticos, que são \(x=-\frac{1}{2}\) e \(x=1\). Começamos com o caso \(x < -\frac{1}{2}\):
\[
	-(2x+1) - (x-1) < 3 \implies x > -1
\]
\[
	\therefore -1 < x < -\frac{1}{2} = (-1,-\frac{1}{2})
\]

Agora o caso \(-\frac{1}{2} \leq x < 1\):
\[
	2x+1 + 1 - x< 3 \implies x < 1
\]
\[
	\therefore -\frac{1}{2} \leq x < 1 = [-\frac{1}{2},1)
\]

Agora o caso \(x \geq 1 \):
\[
	2x+1 + x-1 < 3 \implies x < 1
\]
\[
	\therefore \varnothing
\]

Unindo todos os intervalos, temos que os \(x\) que satisfazem a inequação estão no intervalo:
\[
	\boxed{
		(-1,1)
	}
\]
\subsection{Escreva os intervalos que representam dados os subconjuntos \(A\) e \(B\), e encontre um \(r\) para dada inclusão}
Subconjunto \(A = \{x \in \mathbb{R} : 4x-3<5x+2\}\):
\begin{align*}
	4x-3 &< 5x+2 \\
	-5 &< x
\end{align*}

Que pode então ser escrito como:
\[
	\boxed{
		A = \{x \in \mathbb{R} : -5 < x\} = (-5,\infty)
	}
\]

\bigskip \bigskip

Agora, o subconjunto \(B = \{x \in \mathbb{R} : \abs{x}<1\} \):
\[
	\abs{x} < 1
\]
\[
	-1 < x < 1
\]

Que pode então ser escrito como:
\[ 
	\boxed{
		B = \{x\in\mathbb{R} : -1 < x < 1\} = (-1,1)
	}
\]

\bigskip \bigskip \bigskip

Para que \( (4-r,4+r) \subset (2,5) \), precisamos que:
\[ 2 \leq 4 + r \leq 5 \text{ e também } 2 \leq 4 - r \leq 5 \]

Sendo assim:
\[ -2 \leq r \leq 1 \text{ e } -1 \leq r \leq 2 \]

ou seja:
\[
	\boxed{
		-1 \leq r \leq 1
	}
\]

\part*{Aula II}
\section{Números Reais prof. Lymberopoulos}
\subsection{Prove que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\)}
Vamos usar o mesmo método que o professor Lymberopoulos usou para provar que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \)

Suponha por contradição que \(\sqrt{3} \in \mathbb{Q}\). Parte disso que \(\sqrt{3} = \frac{a}{b}\), sendo \(a\) e \(b\) primos entre si.
Sendo assim, \(3 = \frac{a^2}{b^2}\) e \(3b^2 = a^2\). Por isso, \(a^2\) deve ser divisível por \(3\), porém \(a\) também deve (teorema fundamental da aritmética). Assim temos que \(b^2 = 3k^2\). Assim, \(b^2\), e também \(b\) precisam ser divisíveis por 3, que significa que \(a\) e \(b\) não são primos entre si. Contradição.
\[
	\boxed{
		\therefore \sqrt{3} \notin \mathbb{Q}
	}
\]
\subsection{Dê um exemplo númerico da Propriedade Arquimediana}
Escolherei os valores \( x = 10\), \(y = 3\).

Pela propriedade arquimediana, existe \(n \in \mathbb{N}: ny > x \).
Podemos, por exemplo, usar \(n = 4\), que implica em:
\[ 4*3 > 10 \]
\[ 12 > 10 \]

\end{document}

A  => ATR3/respostas.tex +104 -0
@@ 1,104 @@
\documentclass[12pt]{article}

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\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 3}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle

\section{}
\subsection{}
Como o próprio nome diz, os problemas no cálculo diferencial e integral são a diferenciação e a integração.

A derivada de uma função é o que descreve o grau de variação dessa função, isto é, sua taxa de variação ou a aproximação linear dos pontos. Isso pode ser visto geometricamente como a inclinação da reta tangente de cada ponto no gráfico da função.

O segundo objeto de estudo é a chamada integral. A integral definida pode ser usada para descrever áreas (e também volumes), por meio de combinações infinitesimais. A integral definida de uma função pode ser vista geometricamente como a área delimitada pelo seu gráfico.
\subsection{}
Na função \(f(x) = x^3\), vamos tomar os pontos \((2,8)\) e \((x,x^3)\) para construir uma secante \(r\).

\(r\) tem coeficiente angular:
\begin{align*}
	m &= \frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)\cdot(x^2 + 2x + 2^2)}{x-2} \\
	  &= x^2 + 2x + 2^2
\end{align*}
Com \(x\rightarrow2\), teremos \(m = 12\) e portanto:
\[
	y - 8 = 12\cdot(x-2)
\]
\[
	\boxed{
		y = 12x - 16
	}
\]
\section{}
\subsection{}
O chamado teorema fundamental do cálculo relaciona as duas operações. Uma das antiderivadas (ou primitivas) de uma função, quando existe, pode ser utilizada para calcular a integral definida. Esta antiderivada também é chamada de integral indefinida.

\subsection{}
TODO

\section{}

\section{}
\subsection{}
Falsa. O valor do limite é dado pela aproximação pela direita e pela esquerda na função. Poderíamos ter, perfeitamente, a função:
\[
f(x) = \frac{x}{x-1}
\]
Que não está definida em \(x=1\) (logo seu limite não pode ser igual a \(f(1 )\)).

Ou até mesmo, a função:
\[
	f(x) = \systeme*{x\text{, } x \neq 1, 2x\text{, } x = 1}
\]
Que está definida no ponto, porém cujo valor não coincide com o limite da função tendendo a esse ponto.

\subsection{}
Sim. Quando uma função não é contínua em um ponto (possivelmente por não estar definida nele), porém seu limite nesse mesmo ponto existe (e tornaria a função contínua caso fizesse parte dela), temos uma descontinuidade removível.
Um exemplo de função não definida no ponto \(x=0\) é:
\[
	f(x) = \frac{x}{x^2}
\]
Cujo limite é:
\[
	\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2} = x = 0
\]
\subsection{}
Intuitivamente, uma função é contínua se pequenos incrementos (ou decrementos) na entrada geram (também pequenos) incrementos e decrementos na saída. Também pode ser vista como contínua em um ponto \(p\) quando:
\[
	\lim_{x \rightarrow p} = f(p)
\]
Ou seja, três condições devem ser satisfeitas: \(f\) precisa estar definida em \(p\) (\(p \in Dom(f)\)), o limite precisa existir, e o limite precisa ser igual à \(f(c)\).
\bigskip

Uma maneira mais formal de continuidade é a definição de Weierstrass e Jordan (épsilon e delta). Nessa definição, \(f\) é contínua em \(p\) se:
\[
	\text{dado } \epsilon > 0\text{, } \exists \delta > 0: \abs{x-p} < \delta \implies \abs{f(x) - f(p)} < \epsilon
\]
Isto é, para um \(x\) abitrariamente próximo de \(p\), \(f(x)\) também obrigatoriamente precisará estar próximo de \(f(p)\). Coisa que não acontece com um ponto não contínuo da função, já que o \(f(x)\) pode ``cair fora'' do intervalo delimitado por \(\epsilon\).

\subsection{}
TODO 
\section{}
\subsection{}
TODO
\subsection{}
TODO
\subsection{}
TODO
\subsection{}
TODO
\end{document} 

A  => ATR4/respostas.tex +100 -0
@@ 1,100 @@
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
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  {\normalfont\large\bfseries}{\partname\ \thepart}{14pt}{\Large}

\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}% chktex 9 chktex 10

\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 4}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle

\section{}
\subsection{}
\[
	\lim_{x \rightarrow 5} 7x - 3 = 7(5) - 3 = 32
\]
\subsection{}
\[
	\lim_{x \rightarrow -2} x^2 - 7x - 2 = {(-2)}^2 - 7(-2) -2 = 16
\]
\subsection{}
\begin{align*}
	&\lim_{x \rightarrow 1} 5x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 1 \\
	&= 5{(1)}^5 + 4{(1)}^4 + 3{(1)}^3 + 2{(1)}^2 + 1 + 1 \\
	&= 5+4+3+2+1+1 = 16
\end{align*}

\section{}
\subsection{}
\[
	Dom(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \ne -1\}
\]
A fatoração da função é feita assim:
\begin{align*}
	\frac{x^3 + 1}{x^2 + 4x +3} &= \frac{(x+1)\cdot(x^2-x+1)}{(x+1)\cdot(x+3)}\\
	&= \frac{x^2 - x +1}{x+3}\text{, para \(x \ne -1\)} 
\end{align*}
\subsection{}
O docente está encontrando uma função ``igual'' a \(f\).
Encontrando uma função \(g\) que coincide com \(f\) no intervalo próximo ao ponto desejado (mesmo que não coincidam no ponto em si), temos que ambas possuem o mesmo limite no ponto (caso esse limite exista).

\subsection{}
Quando um polinônio \(p(x)\) tem uma raiz \(r\), é possível dividí-lo por \((x-r)\). Por ambos os polinômios (numerador e denominador) de uma função racional terem uma raiz em comum, é possível dividir ambos por esse termo e, então, simplificar a função.

A função \(g\) encontrada simplificando \(f\) desta maneira, por definição, terá todos os seus valores coincidindo com os de \(f\) (onde estiver definida), ou seja, tendendo a qualquer ponto, os limites de \(f\) e \(g\) serão iguais (caso existam).

Caso \(g\) for contínua num ponto \(p\), o limite de \(g\) tendendo a este ponto será igual a \(g(x)\).

Unindo tudo isso temos que, caso \(f\) seja uma simplificação de \(g\) e \(g\) seja contínua num ponto \(p\):
\[
	\lim_{x \rightarrow p} f(x) = \lim_{x \rightarrow p} g(x) = g(p)
\]

\section{}
\subsection{}
TODO

\section{}

\section{}
\subsection{}
Na ordem em que foram feitos pelo prof. Aurichi:
\begin{align*}
	Dom(f) &= \{x \in \mathbb{R} | x \ne 1\} \\
	Dom(f) &= \{x \in \mathbb{R} | x \notin\{-3, 3\}\} \\
	Dom(f) &= \{x \in \mathbb{R} | x \ne 3\} 
\end{align*}
\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x-1} &= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{{(x+1)}^2 \cdot (x-1)}{x-1} \\
	&= \lim_{x\rightarrow 1} {(x+1)}^2 \\
	&= 2^2 \\
	&= 4
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^2 - 9} &= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x - 3)\cdot(x^2 + 5)}{(x+3)\cdot(x-3)} \\
	&= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^2 + 5}{x + 3} \\
	&= \frac{3^2 + 5}{3+3} \\
	&= \frac{8}{3}
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^3 - x^2 - 21x + 45}{x^2 - 6x + 9} &= \lim_{x\rightarrow 3} \frac{{(x-3)}^2\cdot(x+5)}{{(x-3)}^2} \\
	&= \lim_{x\rightarrow 3} (x+5) \\
	&= 8
\end{align*}
\end{document} 

A  => ATR5/respostas.tex +274 -0
@@ 1,274 @@
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}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}% chktex 9 chktex 10

\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 5}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definition}{Def}

\begin{document}
\maketitle
\part*{Aula 10 - A}% chktex 8
\section{}
\subsection{}
\begin{definition}
	Dizemos que \(f\) tem limite \(L_2 \in \mathbb{R}\), quando \(x\) tende a \(p\) pela direita se dado \(\epsilon > 0\), \(\exists \delta > 0\) tal que para \(p < x < p+\delta\) temos:
	\[
		\abs{f(x) - L_2} < \epsilon
	\]
\end{definition}

\subsection{}
\subsubsection{}
Como \(x\) tende a \(2\) pela direita, isso significa que ele é estritamente \(> 2\), isto é, \(x-2 > 0\). Assim, \(\abs{x-2} = x-2\):
\[
	\lim_{x\rightarrow2^+} \frac{2\cdot(x-2)}{x-2} = 2
\]
\subsubsection{}
Como \(x\) tende a \(2\) pela esquerda, isso significa que ele é estritamente \(< 2\), isto é, \(x-2 < 0\). Assim, \(\abs{x-2} = -(x-2)\):
\[
	\lim_{x\rightarrow2^-} \frac{-2\cdot(x-2)}{x-2} = -2
\]
\subsubsection{}
Como \(x\) tende a \(1\) pela direita, isso significa que \(\sqrt{x} > 1\), isto é, \(\sqrt{x}-1 > 0\). Assim, \(\abs{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x} -1\):
\[
	\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}
\]
\subsubsection{}
Como \(x\) tende a \(1\) pela esquerda, isso significa que \(\sqrt{x} < 1\), isto é, \(\sqrt{x}-1 < 0\). Assim, \(\abs{\sqrt{x}-1} = -(\sqrt{x} -1)\):
\[
	\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{-(\sqrt{x}-1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} -\frac{1}{\sqrt{x}+1} = -\frac{1}{\sqrt{1}+1} = -\frac{1}{2}
\]

\subsection{}
Verdadeira. Como enunciado, para \(f\) ser contínua em \(p=2\), precisamos que \(\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = f(2)\). Como calculamos na questão \(1.2\):
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow2^+} \frac{2\abs{x-2}}{x-2} &= 2 \\
	\lim_{x\rightarrow2^-} \frac{2\abs{x-2}}{x-2} &= -2
\end{align*}

Como \(2 \ne -2\), \(\lim_{x\rightarrow 2} f(x)\) não existe, logo diferente de \(f(2)\), e a função não é contínua.

\subsection{}
Não. Como vimos no exercício \(1.2\), os limites laterais de \(g\) pela esquerda e direita não coincidem (\(-\frac{1}{2}\) e \(\frac{1}{2}\), respectivamente), logo não há valor de \(g(1)\) igual a \(\lim_{x\rightarrow 1}g(x)\), já que esse limite não existe.

\subsection{}
Na P1 acabei fazendo com limites laterais também. Segue aqui minhha resolução:

Gráfico \(y = \ceil{x}\):

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle]
	\addplot+[jump mark right,samples at={-5,-4,...,5}] {ceil(x)};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Para uma função ser contínua num ponto, o limite precisa existir nesse ponto. Isto é, o limite pela direita e o limite pela esquerda devem ser iguais. Vamos tomar \(x=1\). Como é visível no gráfico:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 1+} \ceil{x} &= 2 \\
	\lim_{x\rightarrow 1-} \ceil{x}  &= 1
\end{align*}
Não coincidem. Logo o limite não existe e \(f\) não é contínua em \(x=1\), logo não é contínua em todo \(p \in \mathbb{Z}\).

Caso você tome \(p\) como membro do conjunto \((n, n+1]\), \(n \in \mathbb{Z}\). Nesse intervalo, o único valor que \(f(p)\) pode assumir é o próprio \(n\). Dessa maneira, temos uma função constante, que é contínua.



\section{}
\subsection{}
\subsubsection{}
\[
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x+5} = 0
\]
Dado \(\epsilon > 0\), tome \(\delta = \frac{1}{\epsilon +5}\):
\begin{align*}
	x > \delta = \frac{1}{\epsilon+5}
	&\implies \frac{1}{x+5} < \epsilon \\
	&\implies \abs{\frac{1}{x+5} - 0} < \epsilon \\
	&\implies \abs{f(x) - 0} < \epsilon
\end{align*}
\subsubsection{}
\[
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{5x} = 0
\]
Dado \(\epsilon > 0\), tome \(\delta = \frac{1}{5\epsilon}\):
\begin{align*}
	x > \delta = \frac{1}{5\epsilon}
	&\implies \frac{1}{5x} < \epsilon \\
	&\implies \abs{\frac{1}{5x} - 0} < \epsilon \\
	&\implies \abs{f(x) - 0} < \epsilon
\end{align*}
\subsubsection{}
TODO

\subsection{}
\subsubsection{}
O limite do produto é o produto dos limites, então:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{1}{x^5}
	&= \lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}  \cdot \frac{1}{x}  \cdot \frac{1}{x} \\
	&= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} \\
	&= 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \\ 
	&= 0
\end{align*}
\subsubsection{}
Generalizando a questão anterior:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow + \infty} \frac{1}{x^n}
	&= \lim_{x\rightarrow + \infty} \prod^n \frac{1}{x} \\
	&= \prod^n \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x}\\
	&= \prod^n 0 \\ 
	&= 0
\end{align*}

\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^3(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3} )}{x^3(3+\frac{1}{x^3})} = \frac{1}{3}
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^5(2+\frac{3x}{x^3}-\frac{1}{x^4}+\frac{7}{x^5})}{x^5(-1+\frac{2}{x^4}-\frac{9}{x^5})} = -\frac{1}{2}
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^4(5-\frac{2}{x^3}+\frac{8}{x^4})}{x^5(1+\frac{2}{x^3}+\frac{79}{x^5})} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5}{x} = 0
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^3(1+\frac{1}{x^3})}{x^7(1+\frac{2}{x^7})} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^4} = 0
\end{align*}

\part*{Aula 10 - B}% chktex 8
\section{}
\subsection{}
\subsubsection{}
Dado \(\epsilon > 0\), tome \(\delta = \frac{1}{\epsilon}\).

\begin{align*}
	0 > x > \delta = \frac{1}{\epsilon}
	\implies f(x) = \frac{1}{x} < \epsilon
\end{align*}
\subsubsection{}
Com as propriedades de subtração e multiplicação de limites:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow +\infty} -x^2
	&= -\lim_{x\rightarrow +\infty} x \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} x \\
	&= -\infty
\end{align*}

\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
		\addplot[domain=-1:1.9]{1/abs(x-2)};
		\addplot[domain=2.1:4]{1/abs(x-2)};
		\draw[dashed] (axis cs:2,10) -- (axis cs:2,0);
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Verdadeira. Pela direita ou pela esquerda, o denominador da função vai sempre tender a \(0\) pelo lado positivo quando \(x\rightarrow 2\):
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 2} \frac{1}{\abs{x-2}} = \lim_{x\rightarrow 0+} \frac{1}{x} = +\infty
\end{align*}

\subsubsection{}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
		\addplot[domain=-1:4.8]{2/(x-5)};
		\addplot[domain=5.2:10]{2/(x-5)};
		\draw[dashed] (axis cs:5,10) -- (axis cs:5,-10);
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Falsa. Quando \(x\rightarrow 5\) pela esquerda, o denominador tende a 0 pelo lado negativo:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 5-} \frac{2}{\abs{x-5}} = \lim_{x\rightarrow 0-} \frac{1}{x} = -\infty
\end{align*}

\subsubsection{}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
		\addplot[domain=-1:4.8]{2/(x-5)};
		\addplot[domain=5.2:10]{2/(x-5)};
		\draw[dashed] (axis cs:5,10) -- (axis cs:5,-10);
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Verdadeira. Quando \(x\rightarrow 5\) pela direita, o denominador tende a \(0\) pelo lado positivo, então a função é positiva.
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 5-} \frac{2}{\abs{x-5}} = \lim_{x\rightarrow 0-} \frac{1}{x} = +\infty
\end{align*}

\subsubsection{}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
		\addplot[domain=-2:0.6]{1/( x^2 - 5*x + 3 )};
		\addplot[domain=0.8:4.2]{1/( x^2 - 5*x + 3 )};
		\addplot[domain=4.4:7]{1/( x^2 - 5*x + 3 )};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Falsa. Como a função está definida em \(f(0)\):
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x^2 - 5x +3} = f(0) = \frac{1}{3} \neq +\infty
\end{align*}
\subsubsection{}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
		\addplot[domain=-30:4.9]{(2*x^3 - 2)/(x-5)};
		\addplot[domain=5.1:30]{(2*x^3 - 2)/(x-5)};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

Falsa:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{2x^3 - 2}{x-5} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3(2-\frac{2}{x^3})}{x(1-\frac{5}{x})} = \lim_{x\rightarrow \infty} 2x^2 = +\infty
\end{align*}
\section{}
\subsection{}
\subsubsection{}
\begin{align*}
	\lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x+5} - \sqrt{x}
	&= \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x}} \\
	&= 5 \frac{1}{\infty} \\
	&= 0
\end{align*}
\subsubsection{}
TODO

\section{}
\subsection{}
TODO

\subsection{}
TODO

\end{document} 

A  => ATR7/respostas.tex +138 -0
@@ 1,138 @@
\documentclass[12pt]{article}
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    \renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}% chktex 9 chktex 10
    \theoremstyle{definition}
    \newtheorem*{definition}{Def}

\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 7}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle
\part{Aula X Parte I}
\setcounter{section}{0}
\section{Assista a aula}

\section{}
\subsection{Elenque os dois limites e mostre que são iguais}
\begin{align*}
    x &:= p+h \\
    \implies x-p &= h \\
\end{align*}
Também sabendo que \(x\rightarrow p \implies x-p \rightarrow 0\), agora basta substituir:
\begin{align*}
    \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
    &= \lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} \\
    &= \lim_{x-p\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} \\
    &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} \\
\end{align*}
\subsection{\(f(x) = \abs{x-1}\) não possui derivada em \(p=1\), justifique}
\(f\) é contínua em \(p = 1\). Vamos verificar se é derivável nesse mesmo ponto, calculando o limite:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
    &= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\abs{x-1}}{x-1}
\end{align*}
Não existe, vendo que os limites laterais diferem.
\subsection{Analise e rascunhe a função: \(f(x)=x^2\) para \(x \leq 1\), e \(f(x)=1\) para \(x > 1\)}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-2:1]{x^2};
        \addplot[domain=1:3]{1};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

A derivada só não existe no ponto \(x=1\), onde apresenta bico. A derivada não existe nesse ponto por conta dos limites laterais diferirem no ponto, visto que cada lado tem definições diferentes.

\part{Aula X Parte II}
\setcounter{section}{0}

\section{Assista a aula}

\section{}

\subsection{Grave um vídeo com um exemplo}
Calcule \(\frac{d^2y}{dx^2}\), sendo \(y = \cos{5x}\).
\begin{align*}
    (\cos{5x})'
    &= (5x)' (\cos{5x})' \\
    &= 5 \cdot (-\sin{5x})' \\
    &= -5 \sin{5x}
\end{align*}
\begin{align*}
    (-5 \sin{5x})'
    &= -5 (\sin{5x})' \\
    &= -5 \cdot (5x)' \cdot (\sin{5x})' \\
    &= -5 \cdot 5 \cdot \cos{5x} \\
    &= -25 \cos{5x}
\end{align*}


\part{Aula X+1: Regras de derivação}
\setcounter{section}{0}
\section{Assista os vídeos}
\subsection{Detalhe a derivação de \(f(x) = \sin{x}+x\cos{x}\)}
\begin{align*}
    (\sin{x}+x\cos{x})'
    &= (\sin{x})' + (x\cos{x})' \text{, [regra da soma] } \\
    &= \cos{x} + (x\cos{x})' \text{, [derivada de seno] } \\
    &= \cos{x} + (x)'\cdot\cos{x} + x \cdot (\cos{x})' \text{, [regra do produto] } \\
    &= \cos{x} + 1\cos{x} + x \cdot (-\sin{x}) \\
    &= 2\cos{x} - x\sin{x}
\end{align*}

\subsection{Detalhe a derivação de \(\cot{x}\), \(\tan{x^2}\) e \(\tan^2{x}\)}

Para facilitar a letra b e c, vamos determinar a derivada de \(\tan{x}\):

\begin{align*}
    (\tan{x})'
    &= \left( \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right)' \\
    &= \frac{(\sin{x})' \cdot \cos{x} - \sin{x} \cdot (\cos{x})'}{\cos^2{x}} \text{, [regra do quociente] } \\
    &= \frac{\cos{x}\cdot\cos{x} - \sin{x}(-\sin{x})}{\cos^2{x}} \\
    &= \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}} \\
    &= \frac{1}{\cos^2{x}} \\
    &= \sec^2{x}
\end{align*}

\subsubsection{\(\cot{x}\)}
\begin{align*}
    (\cot{x})'
    &= \left(\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\right)' \\
    &= \frac{(\cos{x})'\cdot\sin{x}-\cos{x}\cdot(\sin{x})'}{\sin^2(x)} \text{, [regra do quociente] }\\
    &= \frac{(-\sin{x})\sin{x}-\cos{x}\cos{x}}{\sin^2{x}} \\
    &= \frac{-\sin^2{x}-\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \\
    &= -\frac{1}{\sin^2{x}}
\end{align*}

\subsubsection{\(\tan{x^2}\)}
\begin{align*}
    (\tan{x^2})'
    &= \sec^2{x^2}\cdot (x^2)' \text{, [regra da cadeia]} \\
    &= \sec^2{x^2}\cdot 2x
\end{align*}

\subsubsection{\(\tan^2{x}\)}
\begin{align*}
    (\tan^2{x})'
    &= 2\tan{x}\cdot (\tan{x})' \text{, [regra da cadeia e da potência]} \\
    &= 2\tan{x}\cdot \sec^2{x}
\end{align*}

\end{document}

A  => ATR9/respostas.tex +478 -0
@@ 1,478 @@
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{commath}
\usepackage{systeme}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{tikz}
\usepackage[portuguese]{babel}
\pgfplotsset{compat=1.17}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
%Reduce part, section and subsection font sizes
\usepackage[small]{titlesec}
\titleformat{\part}[display]
  {\normalfont\large\bfseries}{\partname\ \thepart}{14pt}{\Large}
\usepackage{xpatch}
\xpretocmd{\part}{\setcounter{section}{0}}{}{}
\tikzset{
  jumpdot/.style={mark=*,solid},
  excl/.append style={jumpdot,fill=white},
  incl/.append style={jumpdot,fill=black},
}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}% chktex 9 chktex 10
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{definition}{Def}

\title{SMA0501 - Cálculo I \\ ATR 9}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle
Para melhor esboçar o gráfico de cada função \(f\), precisamos estudar as seguintes questões:
\begin{itemize}
    \item Raízes da função (\(f=0\))
    \item Como se comporta tendendo a infinito (Limites de \(f\))
    \item Pontos de inflexão (\(f'=0\))
    \item Onde é crescente e decrescente (Sinal de \(f'\))
    \item Concavidade (Sinal de \(f''\))
\end{itemize}

\section{\(f(x)=x^3-3x^2+3x\)}
Vamos começar obtendo a primeira e segunda derivadas:
\begin{align*}
    f'(x)
    &= \frac{d}{dx} (x^3-3x^2+3x) \\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 3x^2 - 6x + 3
\end{align*}
\begin{align*}
    f''(x)
    &= \frac{d}{dx} (3x^2-6x+3) \\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 6x - 6
\end{align*}
\subsection{Raízes}
Vamos determinar a(s) raiz(es) de \(f\), isto é, onde a função resulta em 0.%chktex 36
\begin{align*}
    0 &= f(x) \\
      &= x^3-3x^2+3x\\
      &= (x)\cdot(x^2-3x+3)
\end{align*}
Determinando as raízes de \(x^2-3x+3\):
\[
    x = \frac{3\pm\sqrt{-3}}{6}
\]
Resulta em número não-real, logo \(x=0\) é a única raiz real de \(f\).
\subsection{Infinitos}
Vamos calcular o limite de \(f(x)\) com \(x\rightarrow +\infty\) e também \(x\rightarrow -\infty\).
\[
    \lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3-3x^2+3x} = +\infty
\]
\[
    \lim_{x\rightarrow -\infty}{x^3-3x^2+3x} = -\infty
\]
\subsection{Inflexão}
Agora vamos determinar os pontos de inflexão, os pontos onde o crescimento (derivada) da função é \(0\). Ou seja, as raízes de \(f'\):
\begin{align*}
    0 &= f'(x) \\
      &= 3x^2-6x+3 \\
      &= 3(x^2-2x+1) \\
      &= 3{(x-1)}^2
\end{align*}
Sendo assim, a única raiz real de \(f'\), e ponto de inflexão de \(f\), é \(x = 1\).
\subsection{Crescente/decrescente}
Vamos estudar o sinal de \(f'\):

A função \(f'(x) = 3x^2-6x+3\) é uma função polinomial de segundo grau. Isso significa que seu gráfico é uma parábola. O fator quadrático é positivo, isso indica que é uma parábola "virada para cima". Além disso, como temos uma, e apenas uma, raiz, significa que ela apenas toca o eixo x em um ponto, evidência que \(f'(x) \geq 0, \forall x\).

Assim concluimos que \(f\) é crescente em todo o seu domínio.
\subsection{Concavidade}
Vamos estudar o sinal de \(f''\):

A função \(f''(x) = 6x - 6\) é uma função linear. Isso significa que podemos facilmente determinar onde é positiva e negativa:
\begin{align*}
    6x - 6 &\geq 0 \\
    6x &\geq 6 \\
    x &\geq 1
\end{align*}

Sabemos, então, que \(f\) é côncava para cima quando \(x>1\), e côncava para baixo quando \(x<1\).
\subsection{Gráfico}
Por fim, podemos esboçar o gráfico:

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-1:2.5]{x^3 - 3*x^2+ 3*x};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:1,1) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0,0) {};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{\(f(x)=x^3-x^2+1\)}
Vamos começar obtendo a primeira e segunda derivadas:
\begin{align*}
    f'(x)
    &= \frac{d}{dx} (x^3-x^2+1) \\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 3x^2 - 2x
\end{align*}
\begin{align*}
    f''(x)
    &= \frac{d}{dx} (3x^2 - 2x) \\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 6x - 2
\end{align*}
\subsection{Raízes}
Vamos determinar a(s) raiz(es) de \(f\), isto é, onde a função resulta em 0.%chktex 36
\begin{align*}
    0 &= f(x) \\
      &= x^3-x^2+1 
\end{align*}

A única raiz real é \(\sqrt{0.6}\).
\subsection{Infinitos}
Vamos calcular o limite de \(f(x)\) com \(x\rightarrow +\infty\) e também \(x\rightarrow -\infty\).
\[
    \lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3-x^2+1} = +\infty
\]
\[
    \lim_{x\rightarrow -\infty}{x^3-x^2+1} = -\infty
\]
\subsection{Inflexão}
Agora vamos determinar os pontos de inflexão, os pontos onde o crescimento (derivada) da função é 0. Ou seja, as raízes de \(f'\):
\begin{align*}
    0 &= f'(x) \\
      &= 3x^2-2x \\
      &= x(3x-2)
\end{align*}

Agora calcularemos a raiz de \(3x-2\):
\begin{align*}
    3x - 2 &= 0 \\
    3x = 2 \\
    x = \frac{2}{3}
\end{align*}

Sendo assim, as raízes de \(f'\), e pontos de inflexão de \(f\), são \(x = \frac{2}{3}\) e \(x = 0\).
\subsection{Crescente/decrescente}
Vamos estudar o sinal de \(f'\):

A função \(f(x) = 3x^2-2x\) é uma função polinomial de segundo grau. Isso significa que seu gráfico é uma parábola. O fator quadrático é positivo, isso indica que ela é uma parábola "virada para cima".

Como temos exatamente duas raízes reais, \(f(x) \geq 0\) fora do intervalo delimitado pelas duas raízes.

Ou seja, a função \(f\) é crescente quando \(x < 0\) ou \(x > \frac{2}{3}\), sendo decrescente em \(0 < x < \frac{2}{3}\)
\subsection{Concavidade}
Vamos estudar o sinal de \(f''\):

A função \(f''(x) = 6x - 2\) é uma função linear. Isso significa que podemos facilmente determinar onde é positiva e negativa:
\begin{align*}
    6x - 2 &\geq 0 \\
    6x &\geq 2 \\
    x &\geq \frac{1}{3}
\end{align*}

Sabemos, então, que \(f\) é côncava para cima quando \(x > \frac{1}{3}\), e côncava para baixo quando \(x < \frac{1}{3}\).
\subsection{Gráfico}
Por fim, podemos esboçar o gráfico:

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-1.5:1.8]{x^3 - x^2 + 1};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:-0.754877,0) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0.66666,0.85185) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0.33333,0.92592) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0,1) {};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{\(f(x) = \sqrt{x^2-4}\)}
Vamos começar obtendo a primeira e segunda derivadas:
\begin{align*}
    f'(x)
    &= \frac{d}{dx} \sqrt{x^2-4} \\
    &= \frac{d}{dx} {(x^2-4)}^{1/2} \\
    \textit{(Regra da cadeia)} \\
    &= \frac{d}{dx} (x^2-4) \cdot \frac{d}{d(x^2-4)} {(x^2-4)}^{1/2}\\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 2x \cdot \frac{1}{2}{(x^2-4)}^{-1/2} \\
    &= 2x \cdot \frac{1}{2{(x^2-4)}^{1/2}} \\
    &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} \\
    &= \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}
\end{align*}
\begin{align*}
    f''(x)
    &= \frac{d}{dx} \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \\
    \textit{(Regra do quociente)} \\
    &= \frac{((\sqrt{x^2-4})\cdot (x)') - ((\sqrt{x^2-4})'\cdot x)}{{(\sqrt{x^2-4})}^2} \\
    &= \frac{\sqrt{x^2-4}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}}{x^2-4} \\
    &= \frac{(x^2-4)-x^2}{(x^2-4) \cdot \sqrt{x^2-4}} \\
    &= \frac{-4}{{(x^2-4)}^{3/2}}
\end{align*}
\subsection{Raízes}
Vamos determinar a(s) raiz(es) de \(f\), isto é, onde a função resulta em 0.%chktex 36
\begin{align*}
    0
    &= f(x) \\
    &= \sqrt{x^2-4} \\
    &= x^2-4 \\
    \implies x &= \pm \sqrt{4} = \pm 2
\end{align*}

As raízes de \(f\) são \(2\) e \(-2\).
\subsection{Infinitos}
Vamos calcular o limite de \(f(x)\) com \(x\rightarrow +\infty\) e também \(x\rightarrow -\infty\).
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x^2-4} &= +\infty \\
    \lim_{x\rightarrow-\infty} \sqrt{x^2-4} &= +\infty
\end{align*}
\subsection{Inflexão}
Agora vamos determinar os pontos de inflexão, os pontos onde o crescimento (derivada) da função é \(0\). Ou seja, as raízes de \(f'\):
\begin{align*}
    0
    &= f'(x) \\
    &= \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}
\end{align*}

Para uma fração resultar em \(0\), o numerador (\(x\)) precisar ser igual à \(0\). Caso tomemos \(x = 0\), o denominador resultará em \(\sqrt{-4}\), não definido nos reais.

Concluímos, então, que \(f'\) não admite raízes reais, logo \(f\) não possui pontos de inflexão.
\subsection{Crescente/decrescente}
Vamos estudar o sinal de \(f'\):

Por conta do denominador de \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\), precisamos de um \(x \geq \abs{2}\), a fim de obter um \(f'(x) \in \mathbb{R}\).

\(f'(2)\) e \(f'(-2)\) tenderão, respectivamente, a \(+\infty\) e \(-\infty\), por conta do numerador.
Aumentando \(x\) além de \(2\), vemos que \(f'(x)\) tende a \(1\), já que o denominador tende a ficar próximo do numerador. O mesmo vale quando diminuimos \(x\) além de \(-2\), se aproximando de \(-1\).

Também é visível que a função não está definida em \(-2 < x < 2\) (por conta da raiz não ser real nesse intervalo). Logo esse intervalo também não está no domínio de \(f\).

Assim, podemos afirmar que \(f'(x)\) é positivo para \(x \geq 2\), e negativo para \(x\leq -2\).

Portanto, \(f(x)\) é crescente em \(x \geq 2\), e decrescente em \(x \leq 2\).
\subsection{Concavidade}
Agora, estudaremos o sinal de \(f''\):

A função \(f''(x) = \frac{-4}{{(x^2-4)}^{3/2}}\) é sempre negativa, para qualquer x onde está definida. Isso se deve pelo fato que o \(x\) ao quadrado sempre resultará em positivo, ou seja, o denominador será sempre (quando for real) positivo. Como o numerador é negativo, a função será negativa.

Concluímos assim que \(f\) tem concavidade para baixo em todo o seu domínio.
\subsection{Gráfico}
Por fim, podemos esboçar o gráfico:

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-20:20]{sqrt(x^2 - 4)};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:-2.2,0.8) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:2.2,0.8) {};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{\(f(x) = \frac{x}{x+1}\)}
Vamos começar obtendo a primeira e segunda derivadas:
\begin{align*}
    f'(x)
    &= \frac{d}{dx}\frac{x}{x+1} \\
    \textit{(Regra do quociente)} \\
    &= \frac{(x)'\cdot (x+1) - x \cdot (x+1)'}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{x+1-x}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{1}{{(x+1)}^2}
\end{align*}
\begin{align*}
    f''(x)
    &= \frac{d}{dx}{(x+1)}^{-2} \\
    \textit{(Regra da cadeia)} \\
    &= \frac{d}{dx}(x+1) \cdot \frac{d}{d(x+1)}{(x+1)}^{-2} \\
    \textit{(Regra da potência)} \\
    &= 1 \cdot -2{(x+1)}^{-3} \\
    &= \frac{-2}{{(x+1)}^3}
\end{align*}
\subsection{Raízes}
Agora vamos determinar a(s) raiz(es) de \(f\), isto é, onde a função resulta em \(0\).
\begin{align*}
    0
    &= f(x) \\
    &= \frac{x}{x+1} \\
    &= x
\end{align*}

Assim, podemos ver que a única raiz será \(x=0\). Para uma fração resultar em \(0\), o numerador precisar ser \(0\), que só é possível com \(x=0\).
\subsection{Infinitos}
Vamos calcular o limite de \(f(x)\) com \(x\rightarrow+\infty\) e também \(x\rightarrow-\infty\).

Conforme x cresce (seja negativo ou positivo), o denominador e o numerador se aproximam. Então a fração se aproxima de 1:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x}{x+1} &= 1 \\
    \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{x}{x+1} &= 1
\end{align*}

Percebemos também uma indeterminação no \(x = -1\) (pois o denominador fica \(0\)), então vamos calcular os limites nele também, pois podem ser úteis:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow-1+} \frac{x}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow-1+} \frac{-1}{x+1} = -\infty \\
    \lim_{x\rightarrow-1-} \frac{x}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow-1-} \frac{-1}{x+1} = +\infty \\
\end{align*}
\subsection{Inflexão}
Agora vamos determinar os pontos de inflexão, os pontos onde o crescimento (derivada) da função é \(0\). Ou seja, as raízes de \(f'\):
\begin{align*}
    0
    &= f'(x) \\
    &= \frac{1}{{(x+1)}^2}
\end{align*}

Podemos ver que \(f'(x)\) tem numerador igual a \(1\). Isso torna impossível se obter uma raiz, já que essa fração nunca resultará em 0.

Portanto, \(f\) não tem pontos de inflexão.
\subsection{Crescente/decrescente}
Vamos estudar o sinal de \(f'(x) = \frac{1}{{(x+1)}^2}\):

O numerador é positivo, e o denominador está elevado ao quadrado. Logo, não importa qual valor de x, a fração sempre resultará em um número positivo.

Logo, \(f\) é crescente em todo o seu domínio.

Podemos perceber que quando \(x = -1\), o denominador se torna \(0\). Logo \(f\) não está definida em \(x = -1\).
\subsection{Concavidade}
Agora estudaremos o sinal de \(f''(x) = \frac{-2}{{(x+1)}^3}\):

Como não temos pontos de inflexão para partir, vamos analizar algum outro ponto interessante. Um bom ponto de partida parece ser o \(x = -1\), é possível que haja diferença de concavidade antes e depois dele.

Quando \( x > -1\), \(x+1 > 0\), logo o denominador é positivo. Como o numerador é negativo, \(f'' < 0\).

Quando \( x < -1\), \(x+1 < 0\), logo o denominador é negativo (potência ímpar). Como o numerador é negativo, \(f'' > 0\).
\subsection{Gráfico}
Por fim, podemos esboçar o gráfico:

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-6:-1.1]{x/(x+1)};
        \addplot[domain=-0.9:6]{x/(x+1)};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0,0) {};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{\(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\)}
Vamos começar obtendo a primeira e segunda derivadas:
\begin{align*}
    f'(x)
    &= \frac{d}{dx} \frac{x^2}{x+1} \\
    &= \frac{(x^2)'\cdot(x+1)-x^2\cdot(x+1)'}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{2x\cdot(x+1)-x^2}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{2x^2+2x-x^2}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2} 
\end{align*}
\begin{align*}
    f''(x)
    &= \frac{d}{dx} \frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2} \\
    &= \frac{d}{dx} \frac{2x+x^2}{x^2+2x+1} \\
    &= \frac{(x^2+2x)'\cdot(x^2+2x+1)-(x^2+2x)\cdot(x^2+2x+1)}{{(x+1)}^4} \\
    &= \frac{(2x+2)\cdot(x^2+2x+1)-(x^2+2x)\cdot(2x+2)}{{(x+1)}^4} \\
    &= \frac{(2x+2)\cdot((x^2+2x+1)-(x^2+2x))}{{(x+1)}^4} \\
    &= \frac{2x+2}{{(x+1)}^4} \\
    &= \frac{2(x+1)}{{(x+1)}^4} \\
    &= \frac{2}{{(x+1)}^3}
\end{align*}
\subsection{Raízes}
Agora vamos determinar a(s) raiz(es) de \(f\), isto é, onde a função resulta em 0.
\begin{align*}
    0
    &= f(x) \\
    &= \frac{x^2}{x+1} \\
    &= x^2 \\
    &= x
\end{align*}
Assim, podemos ver que a única raiz será \(x=0\). Para uma fração resultar em 0, o numerador (\(x^2\)) precisa ser 0, que só é possível com \(x=0\).
\subsection{Infinitos}
Vamos calcular o limite de \(f(x)\) com \(x\rightarrow +\infty\) e \(x\rightarrow -\infty\).

Conforme \(x\) cresce, \(x\) e \(x+1\) se aproximam, logo a fração se aproxima de \(\frac{x^2}{x}\), que tende a infinito. O mesmo ocorre conforme \(x\) decresce, mas o denominador fica negativo e o numerador positivo, logo tende a menos infinito:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2}{+x} = +\infty \\
    \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^2}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^2}{-x} =  -\infty
\end{align*}

Podemos ver que o denominador tende a \(0\) quando \(x\) tende a \(-1\), uma indeterminação. Vamos aproveitar para ver o limite nesse ponto:

\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow -1+} \frac{x^2}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow -1+} \frac{x^2}{+0} = +\infty \\
    \lim_{x\rightarrow -1-} \frac{x^2}{x+1} &= \lim_{x\rightarrow -1-} \frac{x^2}{-0} =  -\infty
\end{align*}
\subsection{Inflexão}
Agora vamos determinar os pontos de inflexão, os pontos onde o crescimento (derivada) da função é 0. Ou seja, as raízes de \(f'\):
\begin{align*}
    0
    &= f'(x) \\
    &= \frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2} \\
    &= x(x+2) \\
    \implies (x+2) &= 0\text{, }x = 0 \\
    \implies x &= -2\text{, }x = 0
\end{align*}

Podemos ver, então, que os pontos de inflexão são \(x=0\) e \(x=-2\).
\subsection{Crescente/decrescente}
Vamos estudar o sinal de \(f'(x) = \frac{x(x+2)}{{(x+1)}^2}\):

Começaremos a estudar o sinal pelos pontos das inflexões (\(0\) e \(-2\)).

Com \(x > 0\), o numerador e denominador ficam positivos, logo \(f'\) é positiva e \(f\) é crescente quando \(x>0\).

Com \(x < -2\), o numerador (o parêntesis fica negativo, e o x também, logo positivo) e o denominador (por conta do quadrado) ficam positivos, logo \(f'\) é positiva e \(f\) é crescente quando \(x< -2\).

Como temos indeterminação em \(x=-1\), vamos analisar o intervalo entre ele e as inflexões:

Com \(-1 > x > 0\), os parêntesis continuam positivos, mas o \(x\) do numerador é negativo, logo o numerador é negativo e o denominador positivo. Portanto \(f'\) é positiva e \(f\) é decrescente quando \(-1 > x > 0\).

Com \(-2 > x > -1\), o parêntesis do denominador fica negativo, porém está ao quadrado, logo o denominador é positivo. O parêntesis do numerador continua positivo, porém o \(x\) que o multiplica é negativo, logo o numerador é negativo. Portanto, \(f'\) é negativa e \(f\) é decrescente quando \(-2 > x > -1\)

A função não está definida em \(x = -1\) por conta da indeterminação. Então seu domínio são todos os reais menos esse.
\subsection{Concavidade}
Agora estudaremos o sinal de \(f''(x) = \frac{2}{{(x+1)}^3}\):

Como o \(x\) agora só aparece no denominador (junto com \(+1\)), o ponto onde a concavidade muda parece ser o \(x=-1\), então vamos estudar o sinal em pontos maiores e menores que ele.

Para \(x > -1\), o parêntesis (logo o denominador, por estar ao cubo) fica positivo. Assim \(f''\) é positiva e \(f\) tem concavidade para cima em \(x > -1\).

Para \(x < -1\), o parêntesis (logo o denominador, por estar ao cubo) fica negativo. Assim \(f''\) é negativa e \(f\) tem concavidade para baixo em \(x < -1\).
\subsection{Gráfico}
Por fim, podemos esboçar o gráfico:

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle, samples=200]
        \addplot[domain=-0.9:5]{x^2/(x+1)};
        \addplot[domain=-6:-1.1]{x^2/(x+1)};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:0,0) {};
        \node[circle, fill, inner sep=1pt] at (axis cs:-2,-4) {};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{\(f(x) = xe^{-3x}\)}
blabla
\subsection{Raízes}
\subsection{Infinitos}
\subsection{Inflexão}
\subsection{Crescente/decrescente}
\subsection{Concavidade}
\subsection{Gráfico}

\section{\(f(x) = 2x + 1 + e^{-x}\)}
blabla
\subsection{Raízes}
\subsection{Infinitos}
\subsection{Inflexão}
\subsection{Crescente/decrescente}
\subsection{Concavidade}
\subsection{Gráfico}

\section{\(f(x) = e^{-x^2}\)}
blabla
\subsection{Raízes}
\subsection{Infinitos}
\subsection{Inflexão}
\subsection{Crescente/decrescente}
\subsection{Concavidade}
\subsection{Gráfico}

\end{document} 

A  => P1/respostas.tex +170 -0
@@ 1,170 @@
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{commath}
\usepackage{systeme}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{mathtools}
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\usepackage[portuguese]{babel}
\DeclarePairedDelimiter{\ceil}{\lceil}{\rceil}
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  {\normalfont\large\bfseries}{\partname\ \thepart}{14pt}{\Large}

\tikzset{
  jumpdot/.style={mark=*,solid},
  excl/.append style={jumpdot,fill=white},
  incl/.append style={jumpdot,fill=black},
}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})}% chktex 9 chktex 10
\title{SMA0501 - Cálculo I \\ P1 - Parte 1}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle
Eu, Gabriel Silva Fontes, estou apresentando, a seguir, minhas próprias soluções para as atividades propostas na P1 - PARTE I. % chktex 8
Atesto que me dediquei as mesmas, seja individualmente, seja em colaboração com outro/as colegas.
Nos casos em que a discussão com colegas tenha resultado em soluções descritas de modo semelhante às de outro/as aluno/as, atesto que entendo a resolução apresentada no material individual que estou entregando.
\section{}
Gráfico \(y = \ceil{x}\):

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[axis lines=middle]
	\addplot+[jump mark right,samples at={-5,-4,...,5}] {ceil(x)};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}

\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip

Para uma função ser contínua num ponto, o limite precisa existir nesse ponto. Isto é, o limite pela direita e o limite pela esquerda devem ser iguais. Vamos tomar \(x=1\). Como é visível no gráfico:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 1+} \ceil{x} &= \lim_{x\rightarrow 1-} \ceil{x} \\
	2 &= 1
\end{align*}
Contradição. \(f\) não é contínua em \(x=1\), logo não é contínua em todo \(p \in \mathbb{Z}\).

Caso você tome \(p\) como membro de um conjunto que inclui apenas um inteiro \(n\) e seu sucessor, esse \(p\), obrigatoriamente, faz parte de apenas uma das linhas horizontais do gráfico (mais especificamente, faz parte do intervalo delimitado por \(n\) e \(n+1\)). Nesse intervalo, o único valor que \(f(p)\) pode assumir é o próprio \(n\). Dessa maneira, temos uma função constante, que é contínua.

\section{}
Para que \(f\) seja contínua no ponto \(x=-2\), precisamos que \(f(-2)\) seja igual o limite da função nos arredores, isto é:
\[
	\ell = f(-2) = \lim_{x\rightarrow -2} \frac{x^3 + 4x^2 + 3x - 2}{x+2}
\] 
Pelas propriedades de limite, sabemos que o limite com \(x\) tendendo a \(-2\) de uma função \(f\) é igual ao de sua forma simplificada \(g\) (já que os arredores de \(x = -2\) são idênticos). Vamos simplificar \(f\) de forma a obter uma função \(g\) contínua em \(x=-2\).

Vamos tentar dividir o numerador pelo denominador. Para \(x \ne -2\):
\begin{align*}
	f(x) &= \frac{x^3 + 4x^2 + 3x - 2}{x+2} \\
	&= \frac{x^3 + 2x^2}{x+2} + \frac{2x^2 + 3x - 2}{x+2} \\
	&= x^2 + \frac{2x^2 + 3x - 2}{x+2} \\
	&= x^2 + \frac{2x^2 + 4x}{x+2} + \frac{-x-2}{x+2} \\
	&= x^2 + 2x + \frac{-x-2}{x+2} \\
	= g(x)
	&= x^2 + 2x - 1
\end{align*}
Agora podemos obter \(g(-2)\), já que \(g\) é contínua em \(-2\):
\begin{align*}
	g(-2) 
	&= {(-2)}^2 + 2(-2) -1 \\
	&= 4 - 4 - 1 \\
	&= -1
\end{align*}
Sendo assim:
\begin{align*}
	\ell = f(-2)
	&= \lim_{x\rightarrow -2} \frac{x^3 + 4x^2 + 3x - 2}{x+2} \\
	&= \lim_{x\rightarrow -2} x^2 + 2x - 1 \\
	&= {(-2)}^2 + 2(-2) -1 \\
	&= -1
\end{align*}
\section{}
\subsection{}
Vamos simplificar \(f\) para obter uma \(g\) idêntica nos arredores de \(x=1/5\), porém contínua no ponto.
Vamos começar tentando dividindo o numerador pelo denominador. Para \(x \ne 1/5\):
\begin{align*}
	f(x)
	&= \frac{10x^2 + 13x - 3}{5x-1} \\
	&= \frac{10x^2 - 2x}{5x - 1} + \frac{15x - 3}{5x-1} \\
	= g(x)
	&= 2x + 3
\end{align*}
Como sabemos, caso \(f\) e \(g\) sejam iguais nos arredores de \(p\), e com \(g\) contínua nesse mesmo \(p\):
\[
	\lim_{x\rightarrow p} f(x) = \lim_{x\rightarrow p} g(x) = g(p)
\]
Assim:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 1/5} \frac{10x^2 + 13x - 3}{5x-1} 
	&= \lim_{x\rightarrow 1/5} 2x + 3\\
	&= 2\cdot \frac{1}{5} + 3 \\
	&= \frac{17}{5}
\end{align*}
\subsection{}
Usando a mesma justificativa da letra a), vamos simplificar a função. Para \(x \ne 3\):
\begin{align*}
	f(x)
	&= \frac{x^4-3^4}{x-3} \\
	&= \frac{{(x^2)}^2-9^2}{x-3} \\
	&= \frac{(x^2+9)\cdot(x^2-9)}{x-3} \\
	&= \frac{(x^2+9)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}{x-3} \\
	= g(x)
	&= (x^2+9)\cdot(x+3)
\end{align*}
Agora:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^4-3^4}{x-3}
	&= \lim_{x\rightarrow 3} (x^2+9)\cdot(x+3) \\
	&= (3^2+9)\cdot(3+3) \\
	&= 18\cdot6 \\
	&= 108
\end{align*}
\subsection{}
Mais uma vez, com a mesma justificativa, vamos simplificar esta função. Para \(x \ne 1\):
\begin{align*}
	f(x)
	&= \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{3x-1}-\sqrt{2}} \\
	&= \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{3x-1}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2}}{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2}} \\
	&= \frac{(\sqrt{x}-1)\cdot(\sqrt{3x-1}+\sqrt{2})}{3x-1-2} \\
	&= \frac{(\sqrt{x}-1)\cdot(\sqrt{3x-1}+\sqrt{2})}{3\cdot(x-1)} \\
	&= \frac{(\sqrt{x}-1)\cdot(\sqrt{3x-1}+\sqrt{2})}{3\cdot((\sqrt{x}-1)\cdot(\sqrt{x}+1))} \\
	= g(x)
	&= \frac{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2}}{3\cdot(\sqrt{x}+1)}
\end{align*}
Assim, temos:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{3x-1}-\sqrt{2}}
	&= \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{3x-1}+\sqrt{2}}{3\cdot(\sqrt{x}+1)} \\
	&= \frac{\sqrt{3-1}+\sqrt{2}}{3\cdot(1+1)} \\
	&= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{3\cdot2} \\
	&= \frac{2\sqrt{2}}{2\cdot3} \\
	&= \frac{\sqrt{2}}{3}
\end{align*}
\subsection{}
Com o mesmo raciocínio das anteriores, vamos simplificar. Para \(x \ne 2\):
\begin{align*}
	f(x)
	&= \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2} \\
	&= \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}\cdot\frac{2^{2/3}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x}+x^{2/3}}{2^{2/3}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x}+x^{2/3}} \\
	= g(x)
	&= \frac{1}{2^{2/3}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x}+x^{2/3}}
\end{align*}
Agora:
\begin{align*}
	\lim_{x\rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}
	&= \lim_{x\rightarrow 2} \frac{1}{2^{2/3}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x}+x^{2/3}} \\
	&= \frac{1}{2^{2/3}+\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}+2^{2/3}} \\
	&= 3\cdot2^{2/3} \\
	&= \frac{\sqrt[3]{2}}{6}
\end{align*}
\section{Desafio}
TODO
\end{document} 

A  => P2/respostas.tex +104 -0
@@ 1,104 @@
\documentclass[12pt]{article}
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  {\normalfont\large\bfseries}{\partname\ \thepart}{14pt}{\Large}

\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})}% chktex 9 chktex 10
\title{SMA0501 - Cálculo I \\ P2 - Parte 1}% chktex 8
\author{Gabriel Fontes - 10856803}% chktex 8

\begin{document}
\maketitle
Eu, Gabriel Silva Fontes, estou apresentando, a seguir, minhas próprias soluções para as atividades propostas na P2 - PARTE I. % chktex 8
Atesto que me dediquei as mesmas, seja individualmente, seja em colaboração com outro/as colegas.
Nos casos em que a discussão com colegas tenha resultado em soluções descritas de modo semelhante às de outro/as aluno/as, atesto que entendo a resolução apresentada no material individual que estou entregando.

\section{}
\[
    \lim_{x\rightarrow 0}(f(x)g(x)+\cos x)
    = \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow 0}g(x) + \lim_{x\rightarrow 0}\cos x \\
\]
Calculando o limite de \(f(x)\):
\begin{align*}
    & \lim_{x\rightarrow 0}\abs{\sin{x}} \leq \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \leq \lim_{x\rightarrow 0}3\abs{x} \\
    &\implies \abs{\sin{0}} \leq \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \leq 3\abs{0} \\
    &\implies 0 \leq \lim_{x\rightarrow 0}f(x) \leq 0 \\
    &\implies \lim_{x\rightarrow 0}f(x) = 0
\end{align*}
Para podermos multiplicar \(g(x)\) por \(f(x) = 0\), vamos verificar o seu limite (em especial, se é limitado):
\begin{align*}
    & 0 \leq \lim_{x\rightarrow 0} g(x) \leq \lim_{x\rightarrow 0} (1 + \abs{\sin x}) \\
    &\implies 0 \leq \lim_{x\rightarrow 0} g(x) \leq 1
\end{align*}
Dessa forma, podemos afirmar, pelo teorema do confronto:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0} f(x)\cdot g(x)
    &= \lim_{x\rightarrow 0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow 0} g(x) \\
    &= 0 \cdot \lim_{x\rightarrow 0} g(x) \\
    &= 0
\end{align*}
Substituindo no enunciado:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0} (f(x)\cdot g(x) + \cos{x})
    &= \lim_{x\rightarrow 0} \cos{x} \\
    &= \cos{0} \\
    &= 1
\end{align*}

\section{}
O erro ocorre na multiplicação em \(\lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot0)\), pois não é correto operar em uma indeterminação, isto é, o seguinte está incorreto:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow +\infty} (x\cdot0)
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} x \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} 0\\
    &= \infty \cdot 0 \\
    &= 0
\end{align*}

Calculando da maneira correta:
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+x}-x
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+x}-x \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x} \\
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \\
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \\
    &= \frac{\lim_{x\rightarrow +\infty} 1}{\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \\
    &= \frac{1}{2}
\end{align*}

\section{}
\subsection{}
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)}{x}
    &= \lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x}{x} \\
    &= \lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow 2} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow 2} x \\
    &= \lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)}{x^2} \cdot \lim_{x\rightarrow 2} x \\
    &= 1 \cdot 2 = 2
\end{align*}
\subsection{}
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow 0} f(x)
    &= \lim_{x\rightarrow 0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{x} \\
    &= \lim_{x\rightarrow 0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow 0} x \\
    &= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \lim_{x\rightarrow 0} x \\
    &= 0 \cdot 0 = 0
\end{align*}
\subsection{}
\begin{align*}
    \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2+x}{x^2+x} \\
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2+x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2+x \\
    &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x^2+x} \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2+x \\
    &= +\infty
\end{align*}

\end{document}